Cálculo diferencial,
¿por qué y para qué?
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El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico.
Al aplicarlo, es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la concentración de una mezcla o predecir el número de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden resolverse gracias a esta disciplina.
Sin embargo, para el surgimiento del cálculo diferencial, la humanidad tuvo que recorrer un camino largo y tortuoso para dilucidar claramente las ideas que llevaron a la generación de los conceptos que permitieron su nacimiento. A continuación, se realiza un breve recorrido por sus orígenes.
(s. a.) (2013). Motores de carreras en pista de carreras [fotografía].
Tomada de https://visualhunt.com/photo/11967/motors-racing-on-race-track/
Varlan, H. (2008). Transparent chemistry glass tubes filled with substances [fotografía].
Tomada de https://www.flickr.com/photos/horiavarlan/4273225057/
(s. a.) (2008). Dow Drop`s 500 Points [captura de pantalla].
Tomada de https://www.flickr.com/photos/yotut/2860178069
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El estudio de este tema te permitirá:
Distinguir los elementos del cálculo diferencial, a través de la revisión de sus orígenes, para diferenciarlo de otras ramas de la matemática y discernir el tipo de problemáticas donde se aplica esta disciplina.
La matemática se relaciona en todo momento con cualquier sociedad humana; la aritmética y la geometría surgen en ellas casi de manera inmediata ante la necesidad de contar y medir en las operaciones comerciales, productivas y legales que se dan al interior de estos grupos humanos.
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En el proceso de evolución de esta ciencia es posible decir que se da primero la aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que permite contar los objetos y establecer un orden numérico a través de la abstracción de la naturaleza que surge a partir de los números; asimismo, en la aritmética se definen las operaciones elementales que se pueden realizar con los números: suma, resta, multiplicación y división.
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La aritmética evolucionó en diversas etapas al pasar por los sistemas numéricos con y sin posición relativa, de base decimal, vigesimal y sexagesimal, la aparición del cero y la mecanización de ciertas operaciones que permitieron hacer algunos cálculos complejos como los de área y volumen.
De manera asociada, y en un estadio superior de desarrollo humano, surge la geometría como concepción matemática de la naturaleza relacionada con el estímulo visual del entorno del hombre. Mediante esta rama de las matemáticas, es posible hacer una aproximación del mundo real a partir de la abstracción de la naturaleza por medio de entes geométricos (puntos, líneas, triángulos, cuadrados, etcétera); asimismo, a través de ella se determinan diversas propiedades y relaciones de estos entes geométricos.
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Desde un punto de vista práctico, la aritmética y la geometría son suficientes para resolver la mayoría de los problemas que dieron origen a la matemática; sin embargo la aritmética en sí misma no puede desarrollar modelos generales de un problema determinado y sólo es posible plantear y resolver con ella casos particulares de estos problemas.
Por ello, surge el álgebra como una rama de las matemáticas que permite modelar y determinar el comportamiento general de las estructuras matemáticas que se pueden plantear por medios aritméticos; a partir del desarrollo del lenguaje algebraico, surgen nuevas operaciones matemáticas: exponenciación, radicación y logaritmos.
Se puede ilustrar esta evolución de manera sencilla en el caso de la exponenciación. Para el cálculo de áreas y volúmenes, se requiere en algunos casos realizar operaciones aritméticas donde un número se multiplica varias veces por sí mismo, por ejemplo, extraer el cuadrado o el cubo de algún número para obtener el resultado. En la aritmética y geometría antiguas, estos conocimientos eran muy apreciados, ya que se utilizaban en el comercio y también se aplicaban para realizar de manera rápida multiplicaciones de números enteros a partir de los cuadrados de otros números, como se muestra a continuación.
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La regla aplicada para estos casos era la siguiente: “Para multiplicar dos números, se deben sumar ambos y tomar un cuarto de su cuadrado, restando posteriormente a este resultado un cuarto de la diferencia de ambos al cuadrado”. Por ello, existían tablas de cuadrados de números como la que parcialmente se ilustra a continuación:
Tabla con cuadrados de algunos números. El cuadrado de una cantidad se obtenía mediante apoyos geométricos como los que aparecen a la derecha ya que, por el sistema numérico utilizado o por falta de un algoritmo, era más fácil desarrollarlos de esa formaDe esta manera, por ejemplo, si se requería multiplicar 13 por 11 sólo se aplicaba la regla enunciada con el apoyo de la tabla de cuadrados indicada anteriormente:
13 x 11 = (24)2 / 4 - (2)2 / 4 = 576 / 4 – 4 / 4 = 144 – 1 = 143
Los procesos de suma se llevaban a cabo mediante cuentas (guijarros) que se iban adicionando hasta lograr la operación buscada; de manera similar, la división se daba a partir de la cantidad total de piedras y se formaban con ellas cuatro grupos iguales para contar el contenido de cada grupo.
En la actualidad, la realización de una multiplicación de esta manera parece demasiado compleja, ya que se puede hacer manualmente mediante el algoritmo de la multiplicación que se enseña en la educación primaria o a través de una calculadora; sin embargo, en el pasado no se conocían estos algoritmos, menos aún al considerar los sistema numéricos no posicionales (por ejemplo la numeración romana). Por ello, para realizarla resultaba más rápido consultar una tabla como la que revisaste al principio.
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Gracias al desarrollo del álgebra (y de esto se observa su generalidad), es posible saber que el algoritmo conocido antiguamente para la multiplicación no era una propiedad exótica de los números, y tiene su soporte en la igualdad:
ab = (a + b)2 / 4 – (a – b)2 / 4
ab = 1 / 4[(a + b)(a + b) - (a - b)(a - b)]
ab = 1 / 4[(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)]
ab = 1 / 4[a2 – a2 + b2 - b2 + 2ab + 2ab]
ab = 1 / 4(4ab) = ab
El conocimiento de los exponentes negativos, fraccionarios, logaritmos y muchas otras propiedades y algoritmos se obtuvo gracias al desarrollo del álgebra. Para la geometría también se tenían problemáticas parecidas, y el caso del teorema de Pitágoras puede ser una forma de visualizarlas.
El álgebra surge a partir de la necesidad de generalizar las operaciones aritméticas;
arriba se ilustra el teorema de Pitágoras, su realización aritmética y su álgebra asociada
En al caso de la geometría, se tiene un problema análogo al de la aritmética: carece de generalidad y recursos para describir ciertas estructuras geométricas que se observan en la naturaleza con el avance de las sociedades. De esta forma, al unir el álgebra y la geometría, surge la geometría analítica.
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Con la aritmética, geometría, álgebra y geometría analítica, las sociedades más avanzadas han logrado resolver la mayoría de sus enigmas matemáticos; sin embargo, existen algunos problemas prácticos que no pueden resolverse completamente con estos recursos. La falta de consistencia y generalidad en las soluciones encontradas hasta entonces para esos problemas obliga a una revisión del cimiento matemático.
Un ejemplo del tipo de problemas mencionados se muestra a continuación.
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Supongamos que la aritmética, el álgebra y la geometría son suficientes para resolver cualquier problema y, a través de ellas, se busca encontrar una forma alterna para poder encontrar el área de un círculo sin utilizar la fórmula aprendida en la educación primaria (π r2). Para ello, se propone la alternativa de aproximar el área de un círculo mediante un polígono regular con el uso del método exhaustivo propuesto por Eudoxo en el siglo IV a. C., el cual se ilustra parcialmente a continuación.
Aproximación del área de un círculo a través de polígonos regularesPara conocer el nivel de precisión de la aproximación propuesta, es posible medir el error cometido a través del cálculo de la diferencia de las áreas; cuando el error entre ellas sea cero, el cálculo por ambos métodos será equivalente y se habrá encontrado un camino alterno para determinar el área de un círculo.
Área del círculo = π r2 – Área de un polígono = (Perímetro X apotema)/2
Aritméticamente esto quedaría determinado por la resta de las ecuaciones (A) y (B) que se muestran a continuación:
Área del círculo = π r2 (A)
Cálculo del área de un círculo; “r” es el radio del círculoÁrea de un polígono = (Perímetro X apotema) / 2
Área de un polígono = (Número de lados x L x a) / 2
(B)
Cálculo del área de un polígono regular; “a” es la apotema y “L” es la longitud del lado del polígonoAl principio de esta información se observa que, al aumentar el número de lados del polígono inscrito en el círculo, la longitud de sus lados se reduce paulatinamente. Para que la coincidencia sea exacta, debería decirse que llegaría un momento en que cada lado del polígono sería “un punto” (observando la figura ilustrada), pero geométricamente un punto tiene una longitud de cero y aritméticamente se sabe que cero por cualquier otro número produce un valor numérico cero. De manera correspondiente, el número de lados del polígono crece indefinidamente. ¿Cómo expresar ese número que dice que los lados de la figura no se pueden contar?
Ahora surge algo más interesante de acuerdo con el planteamiento (ecuación B): ese número que no se puede expresar (por el número de lados creciente “n”), multiplicado por cero (la longitud del lado que se hará un punto) y por la apotema, y dividido entre dos, debe dar un área igual a la del círculo con el que se desea comparar. Este razonamiento debe funcionar para cualquier círculo; entonces aquel número grande que no se puede expresar1, multiplicado por algo que debe ser cero, debe dar como resultado aritmético cualquier otro resultado buscado, lo cual no corresponde al fundamento aritmético utilizado.
Cálculo de aproximación de áreas que generan problemas algebraicos y aritméticos que no se pueden plantear y resolver de manera exacta con los recursos matemáticos de la aritmética, el álgebra y la geometría. El resultado de la ecuación (C) debe dar un resultado definido según las reglas de la matemática. Este tipo de problemas estableció un puente entre los grandes maestros matemáticos griegos del siglo III a. C. y los europeos de los siglos XVI al XVIII1Algo que no es del todo extraño en la matemática, basta recordar el número “i” de la matemática compleja.
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Si bien la intuición indica que debería ser posible aplicar este tipo de razonamientos en los problemas, la matemática dice algo que no concuerda con esta percepción, o bien se puede pensar que matemáticamente no hay forma de expresar la idea propuesta. Aquí se empieza a observar las inconsistencias de la herramienta matemática, particularmente si todo se limita a los recursos que brindan la aritmética, la geometría y el álgebra.
A lo largo del tema, se han mencionado elementos sobre la intuición humana; sin embargo, se debe remarcar que el sentido común no es el principal sustento de la matemática, la cual es un lenguaje preciso que utiliza símbolos y reglas fijas bien definidas que permiten determinar y establecer de manera deductiva relaciones más complejas entre sus entes abstractos (aritméticos y geométricos) sin romper o torcer esas reglas. Ante este tipo de escenarios, se presentarán los elementos que originarán el surgimiento de una nueva rama de la matemática, denominada cálculo diferencial.
Los antiguos problemas matemáticos (500-300 a. C.) sobre el cálculo de áreas, planteados por Arquímedes de Siracusa, y las paradojas de Zenón y Eudoxo se asocian al surgimiento del cálculo diferencial
Aproximación aritmética y geométrica a la solución de diversos problemas prácticos, relacionados con procesos industriales y productivos. A la izquierda se ilustra el techo de una construcción y, a la derecha, una madeja de hilo
Como se ha mencionado, el cálculo diferencial surge a partir de problemas que no han podido ser modelados matemáticamente y, por esta razón, no se sabe cómo resolverlos correctamente. Generalmente implican el manejo de operaciones algebraicas donde se involucran cantidades que aumentan o disminuyen indefinidamente o una infinidad de sumandos o sustraendos; incluso las relacionadas con fracciones donde sus denominadores se hacen sucesivamente más grandes, más pequeños o nulos pueden ser el epicentro del problema.
Es importante remarcar en este momento que existe una conexión real para estas incógnitas matemáticas y se asocia de manera práctica al planteamiento de problemas que involucran eventos que suceden en tiempos extremadamente cortos o a muy largo plazo, pero también se puede dar respecto a situaciones donde las posiciones entre objetos se aproximan continuamente o se encuentran indistinguiblemente cercanas.
Las condiciones reseñadas representan el núcleo de estos problemas matemáticos, varios de origen antiguo y otros más recientes, e inducen de manera natural (después de muchos años de investigación asociada) al estudio de nuevas ideas relacionadas con el hecho de que la cardinalidad numérica asociada a las variables de un problema algebraico puede crecer o decrecer indefinidamente, algo no resuelto en la matemática previa.
Estos nuevos planteamientos señalan la concepción del cálculo diferencial, cuyo nacimiento se establece en el concepto de límite, el cual aborda estos enigmas. También muestran que, por la necesidad de generalidad algebraica, esto implica también el desarrollo del concepto de función y establecer dentro del contexto, en ambos casos, sus connotaciones aritméticas, algebraicas y geométricas.
Por la descripción anterior, es posible observar la conveniencia de estudiar el cálculo diferencial a partir de las ideas de función y límite; en este trayecto, podrás ver que de ellas se desprenden otros conceptos importantes como derivación e integración de funciones, los cuales se han convertido en potentes y eficientes herramientas matemáticas para resolver una amplia gama de problemas prácticos de diversas áreas de las ciencias exactas, administrativas y sociales.
Actividad de aprendizaje. Eudoxo y el método exhaustivo
En el siglo II a. C., el matemático griego Eudoxo propuso un método para calcular el área de un círculo a partir del cálculo del área de un polígono, ya que es más sencillo de realizar. El método propuesto se denomina método exhaustivo, y consiste en aumentar progresivamente el número de lados del polígono hasta lograr que las áreas de ambas figuras sean iguales; para esta actividad, deberás resolver los resultados del razonamiento aplicado y considerar las siguientes figuras:
(s. a.) (2008). Dow Drop`s 500 Points [captura de pantalla].
Tomada de https://www.flickr.com/photos/yotut/2860178069
A partir de la imagen, lee las siguientes aseveraciones y responde si son verdaderas o falsas al seleccionar la opción correspondiente. Al finalizar, podrás conocer tu desempeño.
Actividad de aprendizaje. Eudoxo y el método exhaustivo
Autoevaluación. Revisión de conceptos de cálculo diferencial
Hasta aquí, has revisado el largo recorrido hecho por la humanidad que ha llevado al surgimiento del cálculo diferencial.
En esta actividad, identificarás los principales conceptos referentes al cálculo diferencial y sus orígenes.
Lee las siguientes preguntas y selecciona la idea correspondiente para cada una. Al finalizar, podrás conocer tu desempeño.
Autoevaluación. Revisión de conceptos de cálculo diferencial
Fuentes de información
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